BP （Back Propagation）算法也叫做误差反向传播算法，它用于求解模型的参数梯度，从而使用梯度下降法来更新网络参数。它的基本工作流程如下：

1. 通过正向传播得到误差，所谓正向传播指的是数据从输入到输出层，经过层层计算得到预测值，并利用损失函数得到预测值和真实值之前的误差。
2. 通过反向传播把误差传递给模型的参数，从而对网络参数进行适当的调整，缩小预测值和真实值之间的误差。

反向传播算法是利用链式法则进行梯度求解及权重更新的。对于复杂的复合函数，我们将其拆分为一系列的加减乘除或指数，对数，三角函数等初等函数，通过链式法则完成复合函数的求导。

我们通过一个例子来简单理解下 BP 算法进行网络参数更新的过程：

为了能够把计算过程描述的更详细一些，上图中一个矩形代表一个神经元，每个神经元中分别是值和激活值的计算结果和其对应的公式，最终计算出真实值和预测值之间的误差 0.2984. 其中

1. 由下向上看，最下层绿色的两个圆代表两个输入值
2. 右侧的8个数字，最下面4个表示 w1、w2、w3、w4 的参数初始值，最上面的4个数字表示 w5、w6、w7、w8 的参数初始值
3. b~1~ 值为 0.35，b~2~ 值为 0.60
4. 预测结果分别为: 0.7514、0.7729

我们首先计算 w~5~ 和 w~7~ 两个权重的梯度，然后使用梯度下降更新这两个参数。

计算出了梯度值，接下来使用使用梯度下降公式来更新模型参数，假设：学习率为 0.5，则：

接下来，我们计算 w~1~ 的梯度，以及更新该参数:

接下来更新该参数：

其他的网络参数更新过程和上面的过程是一样的。下面我们使用代码构建上面的网络，并进行一次正向传播和反向传播。

import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim


class Net(nn.Module):

    def __init__(self):
        super(Net, self).__init__()
        self.linear1 = nn.Linear(2, 2)
        self.linear2 = nn.Linear(2, 2)

        # 网络参数初始化
        self.linear1.weight.data = torch.tensor([[0.15, 0.20], [0.25, 0.30]])
        self.linear2.weight.data = torch.tensor([[0.40, 0.45], [0.50, 0.55]])
        self.linear1.bias.data = torch.tensor([0.35, 0.35])
        self.linear2.bias.data = torch.tensor([0.60, 0.60])

    def forward(self, x):

        x = self.linear1(x)
        x = torch.sigmoid(x)
        x = self.linear2(x)
        x = torch.sigmoid(x)

        return x


if __name__ == '__main__':

    inputs = torch.tensor([[0.05, 0.10]])
    target = torch.tensor([[0.01, 0.99]])

    # 获得网络输出值
    net = Net()
    output = net(inputs)
    # print(output)  # tensor([[0.7514, 0.7729]], grad_fn=<SigmoidBackward>)

    # 计算误差
    loss = torch.sum((output - target) ** 2) / 2
    # print(loss)  # tensor(0.2984, grad_fn=<DivBackward0>)

    # 优化方法
    optimizer = optim.SGD(net.parameters(), lr=0.5)

    # 梯度清零
    optimizer.zero_grad()

    # 反向传播
    loss.backward()

    # 打印 w5、w7、w1 的梯度值
    print(net.linear1.weight.grad.data)
    # tensor([[0.0004, 0.0009],
    #         [0.0005, 0.0010]])

    print(net.linear2.weight.grad.data)
    # tensor([[ 0.0822,  0.0827],
    #         [-0.0226, -0.0227]])

    # 打印网络参数
    optimizer.step()
    print(net.state_dict())
    # OrderedDict([('linear1.weight', tensor([[0.1498, 0.1996], [0.2498, 0.2995]])),
    #              ('linear1.bias', tensor([0.3456, 0.3450])),
    #              ('linear2.weight', tensor([[0.3589, 0.4087], [0.5113, 0.5614]])),
    #              ('linear2.bias', tensor([0.5308, 0.6190]))])

从代码可以看出，我们手算结果和程序的运行结果是一致的。