软间隔支持向量机在处理线性不可分问题时引入，允许一些训练样本出现在间隔内部的概念。这是通过引入松弛变量（slack variables）来实现的，它们允许一些样本出现在错误的一侧，从而使模型更加健壮并能够容忍噪声和离群值。软间隔是一种用于在最大化间隔的同时处理分类错误的方法。软间隔SVM是SVM的一种变体，用于处理现实世界中不完全线性可分的情况。软间隔的引入使SVM更加灵活，能够适应各种数据集。

前面我们谈论的是线性可分的 SVM，在实际的场景下，我们的样本大都是线性不可分的，如下图所示：

在黑色圆形样本中包含了红色方块样本，同样在红色方块样本中包含了黑色圆形样本，我们无论如何也无法用一个超平面将其完全分类正确。此时，就带来一个问题：

我们知道线性 SVM 必须在满足样本分类正确的前提条件 ，再计算最大间隔。但是，此时很明显有两个特别的样本，导致我们无法满足这个前提条件，进而也无法去计算最大间隔。

我们用个例子来帮助理解，快考试了，老师希望全班同学考试能够达到 60 分。但是，总是有个别的同学达不到 60 分，为了达到全部通过的目的，对于不够 60 分的同学，缺多少分就给额外加多少分，然后整个班级达到了目标。

同理，为了能够让部分特别的样本也能够满足样本分类正确这个前提条件，我们给该条件增加一个松弛变量 ξ ，此时我们求解的目标函数变为：

PS：ξ 松弛变量代表间隔差，我们的每个样本都有一个 ξ 值。如果 ξ 值为 0，表示该样本的能够被正确分类。如果 0 < ξ < 1，表示该样本分类正确。如果 ξ >= 1，则表示该样本分类错误。如下图所示：

1. 样本1：ξ = 0，说明样本被分类正确。
2. 样本2：0 < ξ < 1, 样本在正确一侧，但在边缘内，距离超平面不够远。
3. 样本3：ξ > 1，相当于红色样本跑到了黑色的区域了，这就表示分类模型把该样本分类错误。

我们把这种弹性的间隔叫做 "软间隔"，我们把所有样本的间隔差累加起来：ξ~1~+ξ~2~+...+ξ~n~ 用来衡量距离完全线性可分的程度，该值等于 0 时，说明支持向量机做到了将正负样本完全分开了。现在，我们可以将线性支持向量机的公式变成下面的样子：

至此，我们应该明白：

1. 如果我们希望支持向量机的间隔更大，就得允许在训练时，更多的样本落在最大间隔内部，甚至在分类错误的一侧；
2. 如果我们希望训练时，要求支持向量机尽可能多的将样本分类正确，即：充分学习训练样本，则对错误样本的容忍度就不能太高。

另外还要明确，合理的最大间隔，容忍一些正常或者异常的样本分类错误，会提升模型的泛化能力。我们通过在在目标函数中引入乘法参数 C 来平衡最大间隔和分类错误样本容忍程度。

1. 当 C 的值较大，说明间隔违例（在错误一侧，或者在最大间隔内部）带来的损失会被放大，模型越不能容忍这种错误。
2. 当 C 的值较小，说明间隔违例样本打来的损失较小，模型能够适当承受该损失，并适当的放大最大间隔，以获得模型泛化能力的提升。