51工具盒子一 引言
在机器学习中，感知机 （perceptron）是二分类的线性分类模型，属于监督学习算法。输入为实例的特征向量，输出为实例的类别（取+1和-1）。感知机对应于输入空间中将实例划分为两类的分离超平面。感知机旨在求出该超平面，为求得超平面导入了基于误分类的损失函数，利用梯度下降法对损失函数进行最优化（最优化）。感知机的学习算法具有简单而易于实现的优点，分为原始形式和对偶形式。感知机预测是用学习得到的感知机模型对新的实例进行预测的，因此属于判别模型。感知机由Rosenblatt于1957年提出的。
在神经网络、支持向量机等算法盛行的当下，感知机模型应用得并不多，但必须承认，感知机却是神经网络和支持向量机的基础，所以还是很有必要学习一下的，本文接下来的内容将从感知机数学描述、损失函数、两种不同学习形式等方面详细介绍感知机，最后使用Python实现感知机两种学习形式。
二 感知机模型及损失函数
2.1 定义
对于给定训练样本数据集 , 表示训练样本的特征向量, 表示样本类别。 与 之间的如下函数关系：
称为感知机。其中， 称为感知机的权值系数或者权值向量weight ， 称为偏置bias ， 表示 和 的点积
是符号函数，有：
从定义上可以看出，感知机最终目标就是求解出 和 。我们可以从几何上对感知机进行理解，如果以 为法向量，以 为截距，可以确定一超平面：
通过这一超平面，可以顺利将对数据集进行划分。
以二维数据为例，如下图所示,当样本点 刚好落在超平面上时，有 ，当 落在超平面下方时，有 ，通过 函数后输出为 ,也就是标记为 类；当 落在超平面上方时，有 ，通过 函数后输出为 ,也就是标记为 类。
注意，这样的超平面一般不唯一，也就是说感知机最终解可以有很多个，受参数初始值、训练样本输入顺序等因素的影响，每次训练时所获得的超平面都可能不一样。
2.2 损失函数
为了求解参数 和 ，确定最终的分割超平面，我们需要定义一个目标函数或者说损失函数，通过最小化损失函数来达到目的。在感知机模型中，以误分类的样本对象与分割超平面间的距离之和最为损失函数。我们高中时学过，对于点 ，到平面 的距离为：
将这一公式扩展到超平面中，对于超平面 ，误分类点 到超平面的距离为：
式中， 是 的 范数，等同于上面的 。为了方便计算，我们需要将分子中的绝对值去掉，怎么去掉呢？因为 是误分类样本点， 与 一定是异号的，所以：
且因为 ，所以：
于是， 到超平面的距离可以表示为：
假设 是所有误分类点组成的集合，那么所有误分类点到超平面距离总和为：
这就是我们需要的损失函数的雏形了，之所以说是雏形，是因为我们还可以通过令 对上式进一步化简，于是有：
就是我们最终需要的损失函数。
为什么可以直接令
来化简式（1）呢？
我们可以在权值向量 中添加一个 元素，在特征向量 中添加一个第0纬度 ，令偏置 ，这样，我们就把偏置 也放进了权值向量 中，那式（1）就变为：
此时，分子和分母都含有 ,当分子的 扩大 倍时，分母的 范数也会扩大N倍。也就是说，分子和分母有固定的倍数关系。那么我们可以固定分子或者分母为1，然后求分母的倒数或者分子自己的最小化作为损失函数，这样可以简化我们的损失函数。在感知机模型中，采用的是保留分子的策略。
另一种解释，当把偏置 包含进 后，超平面表达式也简化成 ，无论是把 扩大多少倍、缩小多少倍，都对超平面没有影响（就像 与 始终表示同一条直线），那么我们总能找到一个倍数，将 缩小到满足 ，但并不影响我们获得最终的超平面，但是令 后却有助于我们化简和求解。
三 优化方法
上一节中，我们介绍了感知机模型损失函数 的由来，接下来就要说说怎么通过优化损失函数来获得最终的超平面。在感知机模型中，有两种优化方式：原始形式和对偶形式。
3.1 原始形式
原始形式采用的是梯度下降法进行求解，如果对梯度下降法不了解，可以参看前面写过的一篇梯度下降法。这里需要注意的是，在上一小节中说过，感知机是基于误分类驱动的一种模型，所以不能使用整个数据集进行梯度下降优化，只能对误分类样本集合 采用随机梯度下降法或者小批量梯度下降法进行优化。对损失函数 求偏导：
那么， 的梯度下降迭代公式为：
偏置 的梯度下降迭代公式为：
式中， 是学习率。感知机模型中，一般采用随机梯度下降法进行优化，每次使用一个误分类样本点进行梯度更新。假设 是 中的一个误分类点，进行梯度更新：
总结一下原始形式优化步骤。
输入：训练样本数据集 , , ，学习率%
输出： , ；感知机模型
-
初始化 ， ；
-
在 中选取任意点 ；
-
通过 的值判断是否是误分类点，如果是，使用式（3）、（4）更新参数；
-
回到步骤2直到准确率满足条件。
3.2 对偶形式
对偶形式时原始形式在执行效率上的优化。通过3.1小节中，我们知道，每当一个样本点 被错误分类一次时，都会使用式（3）（4）更新一次参数，那么，如果样本点 在迭代过程中被错误分类多次（假设 次），那么就回有 次参与到参数更新中，我们假设参数 和 的初始值都为0向量，那么，最终获得的参数 和 为：
这是在对偶形式中的参数更新方式，式中， 。另外，在原始形式中，我们使用 来判断样本点 是否被错误分类，将式（5）（6）代入这一判别式中，得：
在对偶形式中，采用式（7）判断样本点是否正确分类，观察后可以发现，式（7）中有两个样本点 和 内积计算，这个内积计算的结果在下面的迭代过程中需要多次被重复使用，如果我们事先用矩阵运算计算出所有的样本之间的内积，那么在算法迭代过程中， 仅仅一次的矩阵内积运算比原始形式中每遍历一个样本点都要计算 与 的内积要省时得多，这也是对偶形式的感知机模型比原始形式优的原因。
在感知机模型中，样本的内积矩阵称为Gram矩阵，它是一个对称矩阵，记为 。总结一下对偶形式的步骤。
输入：训练样本数据集 , , ，学习率%
输出： , ；感知机模型
（1）初始化所有 值为0；
（2）计算Gram矩阵；
（3）在 中选取任意点 ；
（4）如果，令 ；
（5）检查是否还有误分类样本点，如果有，回到步骤（2）；如果没有，（5）（6）计算 、 最终值。
四 算法实现
# 导入包
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import copy
# 先来制造一批数据
a = np.random.normal(20,5,300)
b = np.random.normal(15,5,300)
cluster1 = np.array([[x, y, -1] for x, y in zip(a,b)])
a = np.random.normal(45,5,300)
b = np.random.normal(40,5,300)
cluster2 = np.array([[x, y, 1] for x, y in zip(a,b)])
dataset = np.append(cluster1,cluster2, axis=0)
for i in dataset:
plt.scatter(i[0], i[1],c='black',s=6)
plt.show()
len(dataset)
600
class Perception(object):
def __init__(self):
"""
感知机模型
"""
self.w = 0
self.b = 0
def fit_raw_mod(self, train_data, lr=1, max_epoch=None, min_error_rate=0):
"""
原始模式的感知机训练方法，当达到最大迭代次数或错误率降到最小范围退出
train_data：训练数据集
lr：学习率
max_epoch：最大迭代次数
min_error_rate：最小错误率
"""
self.w = np.zeros(train_data.shape[1]-1) # 根据训练集维度初始化权重系数
epoch = 1 # 记录迭代次数
while True:
error_count = 0 # 记录错误分类样本数
for sample in train_data:
xi = sample[0:-1]
yi = sample[-1]
distance = yi * (self.w @ xi + self.b) # yi*(w⋅xi*+b)
if distance <= 0: # 对于判断错误的样本点
self.w += lr * sample[-1] * sample[0:-1]
self.b += lr * sample[-1]
error_count += 1
# 每完成一次迭代之后，验证一次准确率，准确率达标则退出
current_error_rate = float(error_count) / train_data.shape[0]
# print('epoch {0}，current_error_rate: {1}'.format(epoch+1, current_error_rate))
# print('w:{0}, b:{1}'.format(self.w, self.b))
# self.show_graph(train_data) # 每一次迭代都展示一次图像
if current_error_rate <= min_error_rate:
break
if isinstance(max_epoch, int) and epoch >= maxepoch:
break
epoch += 1
print('w:{0}, b:{1}'.format(self.w, self.b))
self.show_graph(train_data)
def fit_dual_mod(self,train_data,lr=1):
"""
对偶模式的感知机训练方法
train_data：训练数据集
lr：学习率
"""
x_train = train_data[:,:-1]
y_train = train_data[:,-1]
num_samples, num_features = x_train.shape
beta = np.zeros((num_samples,))
self.b = 0
# 计算 Gram 矩阵
gram = np.dot(x_train, x_train.T)
while True:
error_count = 0
for i in range(num_samples):
inner_product = gram[i]
y_i = y_train[i]
distance = y_i * (np.sum(beta * y_train * inner_product) + self.b)
# 对于误分类点，修正 beta 和 偏置b，跳出本层循环，重新遍历数据计算，开始新的循环
if distance <= 0:
error_count += 1
beta[i] = beta[i] + lr
self.b = self.b + lr * y_i
break
# 数据没有误分类点，跳出 while 循环
if error_count == 0:
break
self.w = np.sum(beta * y_train * x_train.T, axis=1) # 计算w参数最终值
print('w:{0}, b:{1}'.format(self.w, self.b))
self.show_graph(train_data) # 展示图像
def predict(self, sample):
"""
输入一个样本点，判断是-1类还是+1类
sample：样本点
"""
output = self.w @ sample + self.b
return 1 if output >= 0 else -1
def show_graph(self, train_data):
"""
把训练出来的超平面图像展示出来
"""
for sample in train_data:
if sample[-1] == 1:
plt.scatter(sample[0], sample[1],c='black',s=6)
else:
plt.scatter(sample[0], sample[1],c='red',s=6)
x = np.linspace(0.,60.,200)
y = -(self.w[0]*x + self.b) / self.w[1]
plt.plot(x,y)
plt.show()
# 创建模型
model = Perception()
model.fit_raw_mod(dataset, lr=1)
w:[ 5.32765856 53.28693893], b:-1625.0
model = Perception()
model.fit_dual_mod(dataset, lr=1)
w:[ 5.00139101 51.70138198], b:-1580.0
model.predict(np.array([20,30]))
1
model.predict(np.array([50,50]))
1
